Repère de l'espace

Définition

Un repère de l'espace est formé d'un point $\text{O}$ de l'espace et d'une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l'espace. On note $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ ce repère.
On dit que  le point $\text{O}$ est l'origine de ce repère.

Exemple 1

Dans la figure ci-dessous, $\mathrm{ABCDEFGH}$ est un cube.

Le quadruplet $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}})$ forme un repère de l’espace. 

Définition

Soit  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$  un repère de l'espace. Soit  $\mathrm{M}$  un point de l'espace. Les coordonnées du point $\mathrm{M}$ dans le repère  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$  sont les coordonnées du vecteur  $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$  dans la base   $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

On a : $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ .
On dit que $x$ est l'abscisse de $\mathrm{M}$ , $y$ est l'ordonnée de $\mathrm{M}$ et   $z$ est la cote de $\mathrm{M}$ .
On écrit :  $\mathrm{M}(x;y;z)$ .

Exemple 2

Soit le cube $\mathrm{ABCDEFGH}$  ci-dessous.

On se place dans le repère  $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}})$ .

• On a  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=1\overrightarrow{\mathrm{AB}}+0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+0\overrightarrow{\mathrm{AE}}$  donc les coordonnées de $\mathrm{B}$ sont $\mathrm{B}(1;0;0)$ .
  
• De la même manière, les coordonnées de $\mathrm{D}$ sont $\mathrm{D}(0;1;0)$ et celles de $\mathrm{E}$ sont $\mathrm{E}(0;0;1)$ .
• $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}$  donc les coordonnées de $\mathrm{G}$ sont $\mathrm{G}(1;1;1)$ .
  
• Soit $\mathrm{I}$ le milieu du segment $[\mathrm{FG}]$ . Alors  $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}+\overrightarrow{\mathrm{FI}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ .
  Donc   $\mathrm{I}$   a pour coordonnées  $\mathrm{I}(1;{\displaystyle \frac{1}{2}};1)$ .