Repère de l'espace

Définition

Un repère de l'espace est formé d'un point \(\text O\) de l'espace et d'une base \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) de l'espace. On note \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) ce repère.
On dit que  le point \(\text O\) est l'origine de ce repère.

Exemple 1

Dans la figure ci-dessous, \(\mathrm{ABCDEFGH}\) est un cube.

Le quadruplet \(\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}\) forme un repère de l’espace. 

Définition

Soit  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  un repère de l'espace. Soit  \(\mathrm{M}\)  un point de l'espace. Les coordonnées du point \(\mathrm{M}\) dans le repère  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  sont les coordonnées du vecteur  \(\mathrm{\overrightarrow{OM}}\)  dans la base   \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

On a : \(\mathrm{\overrightarrow{OM}} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\) .
On dit que \(x\) est l'abscisse de \(\mathrm{M}\) , \(y\) est l'ordonnée de \(\mathrm{M}\) et   \(z\) est la cote de \(\mathrm{M}\) .
On écrit :  \(\mathrm{M}(x~;~y~;~z)\) .

Exemple 2

Soit le cube \(\mathrm{ABCDEFGH}\)  ci-dessous.

On se place dans le repère  \(\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}\) .

• On a  \(\mathrm{\overrightarrow{AB} = 1\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}+0\overrightarrow{AE}}\)  donc les coordonnées de \(\mathrm{B}\) sont \(\mathrm{B(1~;~0~;~0)}\) .
  
• De la même manière, les coordonnées de \(\mathrm{D}\) sont \(\mathrm{D(0~;~1~;~0)}\) et celles de \(\mathrm{E}\) sont \(\mathrm{E(0~;~0~;~1)}\) .
• \(\mathrm{\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}\)  donc les coordonnées de \(\mathrm{G}\) sont \(\mathrm{G(1~;~1~;~1)}\) .
  
• Soit \(\mathrm{I}\) le milieu du segment \(\mathrm{[FG]}\) . Alors  \(\mathrm{\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FI} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}\) .
  Donc   \(\mathrm{I}\)   a pour coordonnées  \(\mathrm{I\left(1~;~\dfrac12~;~1\right)}\) .